Qual è il circonferenza di un triangolo? Quali sono le differenze tra il circocentro di un triangolo rettangolo e tutti gli altri tipi di triangoli? Ci sono formule anche nella geometria analitica che possiamo usare per calcolarle? Grazie Emanuele
Uno dei nostri studenti ci ha chiesto una lezione dettagliata sul circumcentro del triangolo. Per prima cosa diamo subito una definizione:
Okuma: Come trovare il circocentro di un triangolo
Il circumcenter è l’intersezione degli assi di un triangolo generico. Si mostra anche che è il punto medio della circonferenza circoscritta allo stesso triangolo.
Questo significa che se disegni gli assi dai vertici di qualsiasi triangolo, questi si intersecano in un punto chiamato circumcenter. Ti ricordi quali sono gli assi di un triangolo? Sono i segmenti che sono perpendicolari a ciascun lato e passano per il suo centro. Proviamo a disegnarlo e vediamo cosa succede…
Circonferenza del triangolo scaleno acuto
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Per il triangolo obliquo ABC, disegniamo il rispettivo asse per ciascun lato. Quindi possiamo identificare un asse sul lato AB, un asse a2 sul lato AC e un asse a3 sul lato BC. Intersecando i tre assi otteniamo il circocentro del triangolo , indicato dal punto P nella figura.
Circonferenza del triangolo ottuso
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Dato il triangolo ottuso con angolo maggiore di 90° al vertice A. Abbiamo disegnato i tre assi a1, a2, a3. Cosa noti? Che il punto trovato questa volta sia esterno. Da ciò possiamo derivare la seguente regola per il circocentro:
- in un triangolo acuto è figura-interno;
- nel triangolo ottuso è esterno alla figura;
Ora esaminiamo alcuni casi di triangoli specifici.
Circonferenza del triangolo rettangolo
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Dato il triangolo rettangolo ABC direttamente al vertice A. Abbiamo disegnato gli assi appropriati per ogni lato e quello che notiamo è che il Circocentro di un triangolo rettangolo nientemeno che è il centro dell’ipotenusa.
Circonferenza del triangolo isoscele
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Il circumcenter del triangolo di Isos cele gode di un’interessante proprietà . Se dovessimo provare a disegnare il baricentro, il punto medio e l’ortocentro di un triangolo isoscele, troveremmo che si allineano e sono esattamente sulla linea.
Perimetro del triangolo isoscele
PROPRIETÀ: In un triangolo equilatero ABC, il centro, il baricentro e l’ortocentro coincidono.
Circocentro nella geometria analitica
Come si determina il circocentro di un triangolo che ha solo i 3 vertici del triangolo stesso, per esempio? Un primo metodo, più veloce e che consigliamo di utilizzare, consiste nello sfruttare la definizione del circocentro: è il perimetro circoscritto del triangolo . Ciò significa che è equidistante dai 3 vertici del triangolo. Pertanto, dato il triangolo ABC e H come circocentro, dobbiamo imporre:
AH = BH = CH
mantenendo H sconosciuto H (xH , yH)
Un secondo metodo, più lungo e che richiede anche più passaggi a livello meccanico, prevede l’applicazione di una specifica costruzione. I passaggi sono i seguenti:
- calcoliamo la formula per la retta dei tre lati del triangolo;
- calcoliamo le coordinate del centro di ogni lato;
- calcoliamo l’asse per ciascun lato utilizzando la formula della retta passante per un punto noto e il coefficiente angolare (se m è il coefficiente della retta, il lato che passa attraverso prendiamo -1 / m tenendo conto della condizione di perpendicolarità)
- Intersechiamo due rette per ottenere il punto H ricercato.
Esercizio
Trova il circocentro del triangolo con vertice nei punti A (7; 1), B (2; 7) e C (-2: – 2).
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Come già detto, applichiamo la definizione dall’inizio della lezione, ovvero il circumcenter è il centro del perimetro circoscritto del triangolo Quindi H è equidistante da A, B e C.
AH = BH = CH
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Quindi il punto è analizzare 2 equazioni in 2 incognite ( Ascissa e ordinata del punto H )
AH = BH
BH = CH
Volendo potresti anche usare l’equazione AH = CH ma poiché le incognite sono 2, possiamo usare 2 equazioni e trascurarne una terza.
Poniamo AH = BH calcolando la distanza tra due punti, prendendo H come sconosciuto.
A questo punto è necessario imporre solo le uguaglianze AH = BH e BH = CH.
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A questo punto non ci resta che risolvere questi due in parallelo, che possiamo inserire in un sistema di equazioni.
Alla fine, abbiamo calcolato il circumcenter del triangolo identificando le coordinate xey.
Conclusioni
Abbiamo visto in questa lezione tutto ciò che c’è da sapere sul circocentro e analizziamo anche le sue proprietà e caratteristiche a seconda del tipo di triangolo. Nell’esempio eseguito per essere applicato al programma di geometria analitica per studenti delle scuole superiori, abbiamo semplicemente applicato la definizione di questo punto caratteristico del triangolo per trovare più o meno rapidamente soluzioni al problema
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